了解黄金分割，感受数学文化
——关于《黄金分割》的教学设计
一、黄金分割的魅力分析
黄金分割（Goldsection）一直被古希腊及历代建筑家、艺术家和雕塑家们所推崇，是美学和生命科学一个重要规律，数学中，它与勾股定理并称为几何中的“双宝”。蒙娜丽莎的美丽、天鹅芭蕾舞的优雅、优选法的运用、向日葵的规律排列，让黄金分割与艺术结缘，与科学联姻。百度引擎中关于“黄金分割”的中文网页就高达一千二百万篇。那么，什么是黄金分割呢？
数学给黄金分割这一美学原理进行了本质的解释，即：一个点把一条线段分成两段，如果较短线段与较长线段的比等就较长线段与整条线段的比，那么这个点把这条线段的黄金分割，该点叫黄金分割点，该比例叫做黄金比；如果设整条线段的长为1，设较长线段为x，可以建立方程模型： ，转化为一元二次方程可求得x= ，即黄金比为 。由于这是一个等价推导，因此，黄金比是黄金分割的本质属性，成为黄金分割的定量判定标准。
二、教材与课标分析
1、本课在教材中的地位和作用
因为黄金分割涉及到比例，北师大版教材把《黄多分割》安排在八年级下册第四章《相似图形》的第2节，它是线段的比、成比例线段、比例的性质等这些基本知识学习后的一节内容，课时安排为1节课。本课是线段成比例概念的巩固和应用，也为本章相似多边形的性质学习进行铺垫，因此，本节在全章中有层上启下的作用。本课中，黄金分割的本质特征黄金比，没经过探究就直接告知学生，它为九年级“一元二次方程应用”的学习设置了悬念。通过九年级的继续学习，学生将进一步理解黄金分割的定义，并体验用该定义建立方程模型的思想。所以，本课的学习是基础，后面的学习是本课深华。
2、课程标准对本节的目标要求
课程标准把本节的目标定为：通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，课标之所以定位为“了解”，由于黄金比特征来历学生不清楚。根据课标相关规定，该目标可以具体解读为：从黄金分割的具体实例中，知道黄金分割的概念和本质特征，并能根据特征，从具体情境中辨认和解释黄金分割。
3、本节内容分析及教材编写者的意图
编写者在把握课标的基础上，把本节大概分成了四个部分来学习。
第一部分动手测量“五角星”中的线段比，提出其中四条线段是否成比例的问题情境，试图让学生在实践体验中积累黄金分割的数学概念，然后直接告诉学生黄金分割的原始概念和本质特征——黄金比。
第二部分“做一做”，通过一个例子示范尺规作图找黄金分割点，然后合作交流，讨论作法的正确性，其目的是为了用黄金比进行解释。编者为了进一步巩固该知识，课堂练习以阅读理解的方式介绍了黄金分割点另一种找法，并让学生模仿作图找出黄金分割点，最后运用黄金比特征说明作图的正确性。
第三部分“想一想”，以古巴台农神庙为背景抽象出一个矩形，先让学生体会图形特点，再研究矩形的宽长比是否是黄金比。
第四部分课后作业，首先安排了约500字的科学普小品文——《耐人寻味的0.618》，然后是三道课后习题，三道题目层层加深，第一题运用课中例题方法作黄金矩形，第二题用黄金比进行长度计算，第三题例用作图方法画正五角星，照应了导入情境。
以上信息，我们不难看出，编者为我们展现的重点知识目标是：用黄金比特征解决一些简单问题，重点技能目标是：学会尺规作图找黄金分割点的方法；在以往的学习中，学生对于尺规作图技能有了大量的训练，本课涉及到的新的作图程序可以通过几次模仿训练以及后面的原理解释得以巩固落实，因此，找黄金分割点不是本课的难点。
我们知道，八年级学生正处在逻辑思维的发展之中，较抽象逻辑推理是学生的弱项，而运用黄金比解释，需要学生阅读并提取数量信息，然后进行信息重组并准确表达，因此，编者把运用黄金比的解释作为了本课的难点。
为了突破这一难点，编者在文中特别指明的学法是：独立思考，合作交流，也就是说，编者在教材中已经暗含了过程与方法目标，即是：通过模仿、实践训练学会找黄金分割点的技能，在思考、交流、讨论中学会解释黄金分割。
编者在教材情境和阅读材料也暗指了本课情感态度价值观目标，即：激发学生探究黄金分割相关知识的兴趣并感受黄金分割的数学文化。
和课标要求相比，教材突出了技能训练的力度，为了适应较高学生和不同学校的要求，教材的标高略高于课程标准的要求，接近理解的水平，因此，这就要求教师必须根据自己学生的学习状况及教师的教学情况及风格予以重新确定教学目标和教学方式。
三、学情及教情分析
1、数学教师普遍重视本节课的教学
许多数学教师认为：本课内容是体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和数学学习信心的精典章节，是学生感受数学美，提高美的鉴赏力的最好的感悟材料。本节的重点目标应着眼于作图技能训练和相关特征进行解释辨别的活动，并把课堂延伸到课外，继续感受数学文化。因此，本课有必要大量补充黄金比例文化材料，着力激发学生兴趣，促进学生数学学习方式转变。
2、学生的认知水平较高、对本节的学习兴趣浓
一方面，通过前三期的学习已具备一定的推理能力和认识水平，学生的基础较好，反应速度较快，基本数学方法熟悉，有较好的阅读习惯和讨论交流的习惯，喜欢收集自己感兴趣的知识并有一定整理资料的能力。从知识技能上看，本节有有概念学习又有技能训练，三个学期的学习，我的学生能体会数学认知步骤。概念学习一般步骤：在特殊情境中感受概念——归纳或认同概念——运用解释——形成概念；技能学习的一般步骤是：阅读明白步骤——模仿训练——变式巩固——形成技能。有了这些基础，就使得学自学阅读、讨论交流的学习活动能得以有效实现，并在这个过程中落实知识技能，因此，我适当地加大了知识容量，提高了本课的要求。
另一方面，初二学生正处于青春萌动期，对美有着强烈的追求，对审美已经有了较高要求。本教材已有三届学生学习过，学生对该节的学习都兴趣盎然、联想丰富。学生第一次把数学和自己身体相联系，把各种艺术同比例相结合，很多学生学习后顿觉恍然大悟，此时，理性与感性的达到契合，这是初中数学带给学生最为震憾的其中一课。不仅如此，生活中，学生开始用黄金比例来对美进行审视。
四、目标确定
综合以上分析，确定具体目标要求如下：
1、知识与技能：能说出黄金分割相关概念，会运用黄金比解决简单问题，熟练找出黄金分割点。
2、过程与方法目标：通过模仿、实践训练学会找黄金分割点的技能；通过自学阅读、独立思考、交流讨论等活动解释黄金分割；通过收集、整理、写作、交流分享黄金分割相关的数学文化（集中在课后）。
3、情感态度价值观目标：激发继续探究黄金比的兴趣，获得高雅审美情趣。
教学的重点是：作图找黄金分割点，黄金比的运用
教学难点是：运用黄金比进行解释
五、主要教学方法的使用
为了达到以上教学目标，结合目标分析，我拟运用以下教学方法：
1、自主探究学习法
这是本节课最主要的教学方法，主要涵义是：通过学习方案引导和教师启发指导，通过学生的阅读、记忆、思考、动手实践、听讲、讨论等方式实现学生自主探究学习。
本课设计了大量的阅读、思考的学习内容，我设计了本课的教学案，为每个学生提供阅读学习的材料，明确了活动的要求，指明了学习流程。这样既能让学生快速、准确明白问题、学习流程和学习要求，有利于提高课堂效率，还能让学生能清晰地感受到知识的形成和发展过程，也利于学生自主学习、自主建构。
本教学案共分六个环节。具体是：情境导入——形成概念——阅读扩充——运用巩固——知识发展——课后写作，除第一个部分由教师讲解引导外，其余几个部分皆需要学生通过阅读、思考、交流等活动完成。其中，第四个环节——运用巩固，通过了五个学习活动来实现重点突出，对于其中的难点“解释作图的正确性”，采用独立思考、交流讨论、反馈矫正来突破难点；本课的最后一个环节课后通过查阅资料完成，把课内知识延伸到课外自主学习。
2、多媒体辅助教学法
使用的教学软件为“几何画板”，用其展示背景图片，加深学生直观美感，用其计算功能实现快速计算，验证数学结论。
学习目标：略
学习过程：
（一）情境导入（3分钟）
【教师引导】女士为什么都喜欢穿高跟鞋，芭蕾舞演员为什么老踮着脚？今天我们学习黄金分割，先研究断臂的维纳斯，看她为什么这么美？维纳斯是希腊雕塑的代表作，公元 1820年被米罗岛上一位农民发现，她被世人公认为希腊女性美的原型。
【演示计算】把维纳斯抽象成一条线段AB，肚脐为线段为C点，测量肚脐到脚部BC大约㎝，测量身高AB=㎝。
观察“几何画板”的运算数据 和 ，可得到的结论是
设计意图：以美的话题引入，设置问题悬念，激发学习热情；通过几何画板演算，快速展示内在联系。
（二）概念形成（7分钟）
【阅读记忆】
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割；点C叫线段AB的黄金分割点， 或 的比值叫黄金比，黄金比=≈
本概念中最关键的条件用文字语言可叙述为： ，其中，较长线段为比例内项。
以上概念在推理时，可写成符号语言：①∵C是AB的黄金分割点，∴ = = ；②∵ 或 = ，∴C是AB的黄金分割点。
设计意图：突出语言转换，特别是文字语言描述，有助于学生识记概念特点，为突破难点作铺垫；通过阅读填空的方式，有助于学生在阅读中把握要点。
【概念巩固】
1、据专家研究，演讲者站在舞台的黄金分割处，演讲效果最好，现在老师要站教室讲台的黄金分割处，那我大概要站在讲台几分之几处？这样的点有几个？答：。
2、维纳斯到底美在哪里？同时回答课前提出的问题。（预案：如果不能回答，阅读下面文章之后再作回答）
3、如图的正五角星，是我们国旗上的图案，曾经是毕达哥拉斯学派的标志。通过测量，你会发现什么？答：
设计意图：在具体问题中感受黄金比的简单应用，会用本质特征黄金比判断黄金分割，突出重点知识黄金比，感受黄金分割的美学的价值。
（三）阅读了解（3分钟）
【学习要求】阅读下面的科学小品文，你获得了哪些信息？在文中勾画出来。
【预案设计】在学生阅读过程中可提示从以下这些方面进行概括（指出文中提到的科学家有哪几位？是谁提出的问题，是谁解决问题，是谁命名的？又有谁进行了推广应用？文中的关键数据是什么？）
耐人寻味的0.618
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金比是 =0。61803398874989…。天文学家开普勒把这种分割线段的方法称为神对分分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的“双宝”，前者好比黄金，后者堪称玉。历史上早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆。19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来。
在相当一段时期里，人们非常崇拜黄金分割。比如，古希腊的许多建筑中，宽与长的比都等于黄金比，其实，黄金分割很可能是由作图问题引起的。
有意思的是，优选法中的“0.618”与黄金分割紧密相关。20世纪70年代，这种方法经著名的数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成果。
设计意图：了解黄金分割的由来，感受黄金分割的数学文化；从另一个角度加深概念识记和黄金分割的数量特征。
（四）运用巩固（20分钟）
【例题阅读】阅读例题，边读先用手在纸上比划，然后说出大致步骤
如图，已知线段AB，求它的黄金分割点C
作法：1、经过点B作BD⊥AB，使BD= （可用直角三角板作，降低作图难度）
2、连接AD，有DA上截取DE=DB
3、在AB上截取AC=AE
C点就是所求的黄金分割点
【模仿作图】熟悉过程后，画一条线段AB=4㎝，作出黄金分割点C
【计算长度】求出AC、BC的长
【思考原理】说明C点为什么是线段AB的黄金分割点？（先独立回顾作图过程，然后与同桌讨论，最后全班交流评价）
【变式思考】阅读“黄金分割点”的另外一种方法，并用此方法找一条线段的黄金分割点，并说明这种作法的道理。（重复上面的学习方法）
如图，AB为已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH。点H就是AB的黄金分割点。（提示：设AB长为a）
设计意图：步步深入，分解问题，设计变式思考，目的是突出本课重点，通过独立思考、合作交流、反馈评价，解决难点问题；交会学生的学习方法，并通过变式思考巩固学习方法。
（五）知识发展（7分钟）
【问题材料】如图是古希腊奥林匹亚山上的巴台农神庙。抽象出矩形ABCD，在其中截正方形ADFE后得到一个新矩形EFCB，发现新矩形的宽与长的比等于原来矩形的宽与长的比。
【猜测论证】（1）观察E点，它是线段AB的黄金分割点吗？，矩形宽与长的比= ，为什么？
【归纳小结】：说出证明一个点是黄金分割点的办法有哪些？
【提高认识】如果矩形的宽长比为黄金比，我们称为它黄金矩形。图中的矩形EFCB是黄金矩形吗？如果在它里面截一个正方形后，剩下的矩形呢？
由此我们可以得出“黄金矩形”的特性是：
【欣赏感受】由于黄金矩形在美学上是一个非常协调的图形，所以有很多艺术家把运用在美术作品中，最有名是达芬奇的“蒙胧娜丽莎的微笑”，它里面包含了很多黄金矩形，很多人体的关键部位都处在黄金分割点处。
【拓展思考】黄金螺线：我们可以在鹦鹉螺外壳发现这样的螺线，一个黄金矩形可以不断被分为正方形及较小的黄金矩形，通过这些正方形的交点（黄金分割点），可以描出一条等角螺线，而螺线的中心正好是第一、二、三、四、五、六个黃金矩形对角线的交点。如果最大黄金矩形的长为1，则这条黄金螺线长为多少？
设计意图：巩固运用概念进行说理，突破难点；感受数学文化，后两个环节是为了激发学生继续探究的兴趣。
（六）课后写作
【背景材料】在生活中，在我们身边，处处都有0.618的影子：花伴的个数、人体五官的分布、达芬奇的绘画、舞台话筒的摆放、学校女同学戴的装饰在头上具体位置……在数学王国里，有许多像0.618那样特别引人注目的数。它们像诗那样美，任你欣赏；它们像诗那么含蓄，耐人寻味；还像诗那样奥妙无穷，发人深省。
【写作建议】请你从下面几个方面（可以超越，但必涉及黄金分割律）查阅题目，自拟题目，写一篇文章来谈谈你对它的了解或理解。
1.黄金分割的历史 2.黄金分割的证明
3.黄金分割在建筑设计中的应用 4.黄金分割在美术中的应用
5.黄金分割与音乐、艺术 6.黄金分割与人体结构
7.黄金分割与养生 8.黄金分割与化学工业
七、板书设计（概念和难点）
黄金分割
一、概念 二、 证明（过程略） ： 三、黄金矩形
由作图可知
∵在Rt△ABD中，AB=4，DB=
∴由勾股定理得：AD=2
∴AC=AE=2 －2
∴
∴点C是AB的黄金分割点 |
黄金分割：
黄金比：
